Родился 2 августа 1950 года в Чимкенте. Окончил химический факультет МГУ.
Дебютировал как поэт в коллективном сборнике «Ленинские горы: Стихи поэтов МГУ» (М., 1977).
В юности публиковался в периодической печати («Комсомольская правда», «Юность», «Московский комсомолец», «Простор»), первая книга его стихов вышла в Америке, в 1984-м году.
В начале семидесятых Кенжеев стал одним из учредителей поэтической группы «Московское время» (вместе с Алексеем Цветковым, Александром Сопровским, Сергеем Гандлевским).
В 1982 году поэт эмигрировал в Канаду, с 2008 года живет в США (Нью Йорк).
Член Русского ПЕН-клуба. Входил в жюри премии «Дебют» (2000), в жюри международного конкурса переводов тюркоязычной поэзии «Ак торна» (2011), премии "Русская премия", "Кубок мира", и др.
Переведён на казахский, английский, французский, немецкий, испанский, голландский, итальянский, украинский, китайский, и шведский языки.